Silne funkcje progowe dla pewnych własności grup losowych

Abstract

Rozprawa poświęcona jest badaniu ewolucji losowej grupy trójkątnej, zdefiniowanej jako grupa zadana losową prezentacją grupy z relatorami długości trzy. W pracy stosujemy model dwumianowy takiej grupy, w którym każde słowo o długości trzy zaliczane jest do zbioru relatorów niezależnie, z zadanym prawdopodobieństwem p. Głównym obiektem naszych badań są funkcje progowe dla takich własności grup, jak własność bycia grupą wolną, własność Kazhdana (T), hiperboliczność i własność trywializowania się grupy. Zaprezentowane w rozprawie twierdzenia w istotny sposób wzmacniają znane wyniki i oszacowania; w szczególności pokazano, że szereg własności grupowych ma silne funkcje progowe. W rozprawie opisano również nieznany dotąd okres w ewolucji losowej grupy trójkątnej, w którym grupa ta nie jest grupą wolną i jednocześnie nie ma własności (T). Podstawową metodą badania grup losowych stosowaną w rozprawie jest sprowadzenie własności grup losowych do własności odpowiednio zdefiniowanych grafów i hipergrafów losowych. The main objective of the thesis is to study the evolution of the random triangular group, which is a group given by a random presentation with relators of length three. We consider the binomial model of this group in which each relator is chosen independently with a given probability p. We study the threshold functions for certain group properties such as the property of being a free group, Kazhdan's property (T), hyperbolicity, or the property of collapsing to the trivial group, significantly improving the known results. In particular, we show that many of these group properties admit sharp thresholds. We also exhibit a new period in the evolution of the random triangular group when the group is neither free, nor has Kazhdan's property (T). Our approach is based on relations between random groups and some auxiliary, naturally defined, random graphs and hypergraphs which in turn can be studied by techniques used in the theory of random structures.