O pewnych półgrupach zbiorów zwartych wypukłych oraz o minimalnych reprezentacjach elementów ich przestrzeni ilorazowych

Abstract

Głównym celem rozprawy jest zbadanie półgrupy wielościanów o ustalonych kierunkach ścian oraz odpowiedź na pytania dotyczące minimalności par takich wielościanów wewnątrz klasy abstrakcji nazywanej wielościanem wirtualnym. Wielościan o ustalonych kierunkach ścian nazywamy G-wielościanem. Wskazujemy te rodziny G-wielościanów, które nie wymagają modyfikacji sumy Minkowskiego w celu wprowadzenia struktury półgrupy. W pozostałych rodzinach G-wielościanów wraz z modyfikacją sumy Minkowskiego, należy również zmodyfikować wiele pojęć dotyczących tej rodziny. Wprowadzimy zatem takie pojęcia jak macierz sieci G, G-powłoka wypukła, G-równoważność par G-wielościanów, czy też G-minimalność par G-wielościanów. Ta rozprawa odpowiada na następujące pytania: W jaki sposób ustalić czy para G-wielościanów jest parą G-minimalną? W jaki sposób zredukować parę G-wielościanów do pary G-minimalnej? W jaki sposób wyznaczyć wszystkie pary G-minimalne G-równoważne parze G-wielościanów? The main goal of this dissertation is to examine a semigroup of polyhedra with prescribed face directions and to answer questions about minimality of pairs of these polyhedra inside an equivalnce class named a virtual polyhedron. A polyhedron with prescribed face directions is called G-polyhedron. We describe these families of G-polyhedra which do not require modification of Minkowski sum to have a structure of a semigroup. In other families of G-polyhedra we modify Minkowski sum and other notions. We introduce matrix of a grid G, convex G-hull, G-equivalence of pairs of G-polyhedra and G-minimality of a pair of G-polyhedra. This dissertation answers the following questions: How to determine whether a given pair of G-polyhedra is G-minimal? How to reduce a pair of G-polyhedra to a G-minimal pair? How to find all G-minimal pairs equivalent to a given pair of G-polyhedra?