O pewnych uogólnieniach funkcji prawie okresowych i ich zastosowaniach

Abstract

Głównym celem rozprawy jest zbadanie rozwiązań równania różniczkowego liniowego y’(x)=λy(x)+f(x), (λ≠0), gdzie f jest funkcją prawie okresową w uogólnionym sensie. Rozważamy dwie klasy uogólnionych funkcji prawie okresowych - klasę funkcji prawie okresowych względem miary Lebesgue'a (w skrócie: μ-p.o.) oraz klasę funkcji prawie okresowych w sensie Lewitana (w skrócie: LAP). Dla obu klas podajemy warunki, które gwarantują odpowiednio istnienie oraz nieistnienie uogólnionego rozwiązania prawie okresowego. Ponieważ rozwiązania powyższego równania zazwyczaj można wyrazić za pomocą splotu z pewną funkcją z przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a, więc szczególna uwaga jest poświęcona operatorowi splotu. Ponadto w niniejszej rozprawie rozważamy tak zwany model ,,leaky-integrate-and-fire''. Model ten jest określony dla tego samego równania różniczkowego liniowego (λ ≤ 0). W modelu tym badamy własności tak zwanego ,,firing map'', ,,displacement map'' oraz liczby obrotu. Ponadto w rozprawie porównujemy klasę ciągłych funkcji μ-p.o. z klasą funkcji LAP. Jednocześnie, podajemy odpowiedź na pewien otwarty problem dotyczący funkcji prawie automorficznych. The main goal of this thesis is to examine solutions of linear differential equation y’(x)=λy(x)+f(x), (λ≠0), where f is almost periodic function in a generalized sense. We consider two classes of generalized almost periodic functions - the class of almost periodic functions in view of the Lebesgue measure (briefly: μ-a.p.) and the class of almost periodic functions in the Levitan sense (briefly: LAP). For both classes we give conditions which guarantee respectively an existence and a nonexistence generalized almost periodic solution. Since a solution of above equation usually can be expressed by means of the convolution with some function from the space Lebesgue integrable functions, so a special attention is devoted by the convolution operator. Moreover, in this dissertation we consider so-called ,,leaky-integrate-and-fire'' model. This model is defined for the same linear differential equation (λ ≤ 0). I this model we investigate properties of the so-called ,,firing map'', ,,displacement map'' and ,,rotation number''. Moreover, in this thesis we compare the class of continuous μ-a.p. functions with the class of LAP functions. Simultaneously, we give an answer to the some open question concerning almost automorphic functions.